役に立つヒント

平行線、平行線の兆候および条件

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1. 2本の線が3本目の線と平行である場合、それらは平行です。

2. 2本の線が3本目の線に垂直である場合、それらは平行です。

平行線の残りの符号は、2本の線が3本目の線と交差するときに形成される角度に基づいています。

3.内部の片側角度の合計が180°の場合、線は平行です。

4.それぞれの角度が等しい場合、線は平行です。

5.横方向の内角が等しい場合、線は平行です。

平行線のプロパティ

平行線の符号と逆のステートメントがプロパティです。これらは、3番目の線の2本の平行線の交点によって形成される角度のプロパティに基づいています。

1. 3番目の直線の2つの平行な直線の交点で、それらによって形成される内部片側角の合計は180°に等しくなります。

2. 3番目の線の2本の平行線の交点で、それらによって形成される対応する角度は次と等しくなります。

3. 3番目の線の2本の平行線の交点で、これらの線によって交差して形成される角度は次の値に等しくなります。

次のプロパティは、前の各プロパティの特殊なケースです。

4.平面上の線が2本の平行線のいずれかに垂直である場合、それは他の線に垂直です。

5番目のプロパティは、平行線の公理です。

5.この線上にない点を通して、この線に平行な線を1つだけ描くことができます。

平行線-基本情報。

最初に、平面上の直線と空間内の直線によって記事で与えられた平行線の定義を思い出します。

平面上の2本の線は 平行それらに共通点がない場合。

3次元空間の2本の線は呼ばれます 平行それらが同じ平面にあり、共通点がない場合。

空間内の平行線の定義における「同じ平面上にある場合」という句は非常に重要であることに注意してください。この点を明確にしましょう:共通点を持たず、同じ平面にない3次元空間の2本の線は平行ではありませんが、交差しています。

平行線の例を次に示します。ノートブックシートの反対側の端は平行線上にあります。家の壁の平面が天井と床の平面と交差する直線は平行です。平坦な地形の鉄道レールも平行線と見なすことができます。

平行線を示すには、記号「」を使用します。つまり、行aとbが平行であれば、a bを簡単に書くことができます。

注:行aと行bが平行である場合、行aは行bと平行であり、行bは行aと平行であると言えます。

平面上の平行線の研究で重要な役割を果たすステートメントを作成しましょう。特定の線上にない点を通過すると、この線に平行な単一の線が通過します。この声明は事実として受け入れられており(既知の平面測定の公理に基づいて証明することはできません)、平行線の公理と呼ばれます。

空間の場合、次の定理が成り立ちます。特定の線上にない空間の任意の点を通して、特定の線に平行な一意の線を渡します。この定理は、上記の平行線の公理の助けを借りて簡単に証明されます(その証明は、参考文献リストの記事の最後に示されているジオメトリの教科書10-11クラスにあります)。

空間の場合、次の定理が成り立ちます。特定の線上にない空間の任意の点を通して、特定の線に平行な一意の線を渡します。この定理は、上記の平行線の公理の助けを借りて簡単に証明されます。

線の平行度-平行度の兆候と条件。

平行線のサイン は、平行線にとって十分な条件です。つまり、そのような条件が満たされると平行線が保証されます。つまり、この条件が満たされていれば、線が平行であるという事実を述べるのに十分です。

また、平面上および3次元空間内の線の平行度に必要かつ十分な条件があります。

「平行線の必要十分条件」というフレーズの意味を説明しましょう。

平行線に十分な条件があれば、すでにわかっています。しかし、「平行線に必要な条件」とは何ですか? 「必要」という名前で、この条件の実現が平行線に必要であることは明らかです。言い換えれば、線の平行度の必要条件が満たされない場合、線は平行ではありません。このように 平行線の必要十分条件 平行線に対してフルフィルメントが必要かつ十分である条件です。つまり、一方では、これは平行線の兆候であり、他方では、これは平行線が持つ特性です。

平行線の必要十分条件を定式化する前に、いくつかの補助的な定義を思い出してください。

割線 与えられた2つの不一致線のそれぞれと交差する線です。

2つの真っ直ぐな割線の交差点で、8つの未発達の角度が形成されます。平行線の必要十分条件の定式化では、いわゆる 横たわって、対応 そして 片隅。図面にそれらを表示します。

平面上の2つの直線が割線と交差する場合、それらの平行度のために、横たわる角度が等しいか、対応する角度が等しいか、または片側角度の合計が180度に等しいことが必要です。

平面上の平行線のこの必要十分条件の図解を示します。

これらの平行線の状態の証明は、グレード7〜9のジオメトリの教科書にあります。

これらの条件は3次元空間でも使用できることに注意してください。主なことは、2本の線と割線が同じ平面にあることです。

平行線の証明によく使用される定理をいくつか示します。

平面上の2本の線が3本目の線と平行である場合、それらは平行です。この機能の証明は、平行線の公理から得られます。

3次元空間の平行線についても同様の条件があります。

空間内の2本の線が3本目の線と平行である場合、それらは平行です。この機能の証明は、グレード10のジオメトリレッスンで考慮されます。

有声定理を説明します。

平面上の線の平行性を証明できる定理をもう1つ示します。

平面上の2本の線が3本目の線に垂直である場合、それらは平行です。

空間の線についても同様の定理があります。

3次元空間の2本の線が1つの平面に垂直である場合、それらは平行です。

これらの定理に対応する図を表します。

上記で定式化されたすべての定理、特徴、必要十分条件は、幾何学的手法による線の平行性の証明に完全に適しています。つまり、与えられた2本の線の平行性を証明するために、それらが3本目の線に平行であることを示すか、横たわっている角度の平等を示す必要があります。多くの同様の問題は、高校のジオメトリクラスで解決されます。ただし、多くの場合、座標法を使用して、平面上または3次元空間内の線の平行性を証明すると便利です。直交座標系で指定された線の平行度の必要十分条件を定式化します。

直交座標系での線の平行度。

直交デカルト座標系が平面上で指定されている場合、この座標系の直線は、何らかの平面上の直線の方程式によって決定されます。同様に、3次元空間の直交座標系の直線は、空間の直線のいくつかの方程式を定義します。

記事のこの段落では、定式化します 平行線の必要十分条件 これらの線を定義する方程式のタイプに応じて、直交座標系で、また典型的な問題の詳細な解決策を提供します。

直交座標系Oxyの平面上の2本の線の平行性の状態から始めます。彼の証明の基礎は、線の方向ベクトルの定義と、平面上の線の法線ベクトルの定義です。

平面上の2つの不一致線の平行度のために、これらの線の方向ベクトルが共線であるか、これらの線の法線ベクトルが共線であるか、1つの線の方向ベクトルが2番目の線の法線ベクトルに垂直であることが必要かつ十分です。

明らかに、平面内の2つの直線の平行度条件は、2つのベクトルの共線性条件(直線の方向ベクトルまたは通常の直線ベクトル)または2つのベクトルの垂直性条件(1つの直線の方向ベクトルと2番目の直線の法線ベクトル)に減少します。したがって、andがラインaおよびbの方向ベクトルであり、およびがそれぞれラインaおよびbの法線ベクトルである場合、ラインaおよびbの並列性の必要十分条件は、orまたはorとして記述されます。ここで、tは実数です。次に、ガイドの座標および(または)線aおよびbの法線ベクトルは、線の既知の方程式から求められます。

特に、平面上の直交座標系Oxyの直線aが直線の一般方程式と直線b-を定義する場合、これらの直線の法線ベクトルはそれぞれ座標を持ち、直線aとbの平行性条件は次のように記述できます。

直線aが形式の角係数を持つ直線の方程式、および直線b-に対応する場合、これらの直線の法線ベクトルは座標を持ち、これらの直線の平行条件は形式をとります。したがって、直交座標系の平面上の線が平行であり、角度係数を持つ線の方程式で定義できる場合、線の角度係数は等しくなります。逆もまた同様です。直角座標系の平面上の不一致線が、角度係数が等しい線の方程式で定義できる場合、そのような線は平行です。

直交座標系のラインaとラインbがビューの平面内のラインの正準方程式を決定する場合、またはビューの平面内のラインのパラメトリック方程式を決定する場合、これらのラインの方向ベクトルには座標があり、ラインaとbの平行性の条件は次のように記述されます。

いくつかの例のソリューションを調べてみましょう。

線と平行ですか?

線分を線の一般的な方程式としてセグメントに書き直します。これが線の法線ベクトルであり、線の法線ベクトルであることがわかります。等式()が真である実数tがないため、これらのベクトルは共線ではありません。したがって、平面上の線の平行度の必要十分条件が満たされないため、指定された線は平行ではありません。

いいえ、線は平行ではありません。

それらは真っ直ぐで平行ですか?

線の正準方程式を、角係数を持つ線の方程式に持ち込みます。明らかに、線の方程式は同じではなく(この場合、与えられた線は同じです)、線の角度係数は等しいため、元の線は平行です。

解決する2番目の方法。

最初に、元の線が一致しないことを示します。たとえば、(0、1)のように線上の点を取ります。この点の座標は線の方程式を満たさないため、線は一致しません。次に、これらの行の並列条件が満たされていることを確認します。直線の法線ベクトルはベクトルであり、直線の方向ベクトルはベクトルです。ベクトルと:のスカラー積を計算します。その結果、ベクトルとは垂直になります。これは、与えられた線の平行度の必要十分条件が満たされることを意味します。したがって、線は平行です。

与えられた線は平行です。

3次元空間での直交座標系の線の平行性を証明するには、次の必要十分条件が使用されます。

3次元空間での不一致線の平行性のために、それらのガイドベクトルが同一直線上にあることが必要かつ十分です。

したがって、3次元空間の直交座標系の線の方程式が既知であり、これらの線が平行であるかどうかの質問に答える必要がある場合は、これらの線の方向ベクトルの座標を見つけ、方向ベクトルの共線性条件が満たされていることを確認する必要があります。言い換えれば、とがそれぞれ線aとbの方向ベクトルである場合、線aとbの平行度のために、それが真である実数tが存在することが必要かつ十分です。

この例を解く際に、空間内の平行線の状態を扱います。

線の並列性を証明します。

ビュー空間内のラインの標準方程式とビュー空間内のラインのパラメトリック方程式が与えられます。方向ベクトルと指定された線には座標andがあります。それ以来。したがって、空間内の2本の線の平行度の必要十分条件が満たされます。これにより、線の並列性が証明されます。

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